High School Math Problem: Periodic Fox Population Growth with Trigonometric Rate Functions

Question

Aufgabe 1: Die Anzahl von Füchsen in einem Revier schwankt periodisch in Abhängigkeit von dem Nahrungsangebot. In zwei Revieren werden die Zu- und Abnahmen jährlich aufgezeichnet. In Revier A wird die Änderungsrate durch die Funktion f mit f(t)=200cos(t) modelliert; in Revier B durch die Funktion g mit g(t)=100cos(t)+50. Zu Beginn der Aufzeichnung gab es jeweils 300 Füchse.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Änderungsraten für die ersten 10 Jahre. Beschreiben Sie damit die Bestandsentwicklung.
b) Geben Sie die Zeitpunkte an, in denen die Population am stärksten wachsen bzw. fallen oder sich nur wenig ändern.
c) Ermitteln Sie zu beiden Modellen eine passende Bestandsfunktion B und skizzieren Sie diese. Passt der Verlauf zu den Vermutungen aus a)? Zu welchem Zeitpunkt nach Aufzeichnungsbeginn gibt es in beiden Revieren die gleiche Anzahl von Tieren?
d) Berechnen Sie den Ausdruck 1/3 ∫₀³ F(t) dt. Welche Bedeutung könnte dieser Ausdruck haben? Überlegen Sie den Wert für 1/(2π) ∫₀²π F(t) dt, ohne zu rechnen. Berechnen Sie ihn dann.

Accepted Answer

a) Graphs: f(t)=200cos(t) is a cosine wave with amplitude 200, g(t)=100cos(t)+50 is a cosine wave with amplitude 100, vertical shift +50. Population A oscillates above/below initial 300; Population B has a net upward trend while oscillating.
b) For f(t): Max growth at t=2πk, k=0,1,2...; Max decline at t=π+2πk, k=0,1,2...; Little change at t=π/2+πk, k=0,1,2.... For g(t): Max growth at t=2πk, k=0,1,2...; Max decline at t=π+2πk, k=0,1,2...; Little change at t=π/2+πk, k=0,1,2....
c) Population functions: A(t)=200sin(t)+300, B(t)=100sin(t)+50t+300. Equal population at t≈7.76 years (solved from 200sin(t)+300=100sin(t)+50t+300 → 100sin(t)=50t → 2sin(t)=t).
d) 1/3 ∫₀³ (200sin(t)+300)dt = 1/3[ -200cos(t)+300t ]₀³ = 1/3[(-200cos3+900)-(-200+0)] = 1/3(1100-200cos3) ≈ 398.08. This is the average fox population in Revier A over the first 3 years. 1/(2π)∫₀²π (200sin(t)+300)dt = 300, since the integral of sin(t) over a full period is 0, so it equals 1/(2π)*300*2π=300.

Answer

Step 1: For part a), recognize f(t) and g(t) are cosine functions. f(t) has amplitude 200, no vertical shift; g(t) has amplitude 100, vertical shift +50. Plot over t∈[0,10]. Positive values mean population growth, negative mean decline. For Revier A, growth/decline is symmetric; for Revier B, the +50 creates a net upward trend. Step 2: For part b), the rate of change is maximized when cos(t)=1 (t=2πk) for growth, minimized when cos(t)=-1 (t=π+2πk) for decline, and zero when cos(t)=0 (t=π/2+πk) for little change, applicable to both functions (for g(t), zero change when 100cos(t)+50=0 → cos(t)=-0.5, t=2π/3+2πk or 4π/3+2πk). Step 3: For part c), integrate the rate functions to get population functions: ∫200cos(t)dt=200sin(t)+C, C=300 so A(t)=200sin(t)+300; ∫(100cos(t)+50)dt=100sin(t)+50t+C, C=300 so B(t)=100sin(t)+50t+300. Set A(t)=B(t): 200sin(t)=100sin(t)+50t → 100sin(t)=50t → 2sin(t)=t, solve numerically to get t≈7.76. Step 4: For part d), compute the average value integral: 1/3∫₀³ A(t)dt. Integrate term-by-term: ∫200sin(t)dt=-200cos(t), ∫300dt=300t. Evaluate from 0 to 3, divide by 3. For the period integral, ∫₀²π sin(t)dt=0, so only the constant term contributes: 1/(2π)*300*2π=300.